第 3 章：三角形全等与相似
Triangle Congruence and Similarity
本章学习目标
- ✓ 理解三角形全等的定义和判定条件
- ✓ 理解三角形相似的本质含义
- ✓ 掌握相似判定的三个方法（AA、SSS、SAS）
- ✓ 发现：相似三角形的对边比是常数（为三角函数铺路）
- ✓ 理解周长比、面积比与相似比的关系
3.1 三角形全等（Triangle Congruence）
定义
全等（Congruence）：两个三角形的对应边相等，对应角相等。
记法： △ABC ≅ △DEF
含义： 两个三角形的形状和大小完全相同，可以通过平移、旋转、翻转相互重合。
英文定义： Two triangles are congruent if their corresponding sides are equal and their corresponding angles are equal.
全等的五个判定定理
-
SSS（Side-Side-Side）：
三边分别相等 → 两个三角形全等若 |AB| = |DE|，|BC| = |EF|，|CA| = |FD| → △ABC ≅ △DEF -
SAS（Side-Angle-Side）：
两边及其夹角相等 → 两个三角形全等若 |AB| = |DE|，∠A = ∠D，|AC| = |DF| → △ABC ≅ △DEF -
ASA（Angle-Side-Angle）：
两角及其夹边相等 → 两个三角形全等若 ∠A = ∠D，|AB| = |DE|，∠B = ∠E → △ABC ≅ △DEF -
AAS（Angle-Angle-Side）：
两角及其中一角的对边相等 → 两个三角形全等 -
HL（Hypotenuse-Leg，直角三角形）：
斜边和一条直角边相等 → 两个直角三角形全等
例题
已知：△ABC 和 △DEF 中，
|AB| = 5cm，|BC| = 7cm，|CA| = 8cm
|DE| = 5cm，|EF| = 7cm，|FD| = 8cm
求证：△ABC ≅ △DEF
由题意：|AB| = |DE| = 5cm，|BC| = |EF| = 7cm，|CA| = |FD| = 8cm
三边分别相等，满足 SSS 条件
∴ △ABC ≅ △DEF
3.2 三角形相似（Triangle Similarity）
定义
相似（Similarity）：两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
记法： △ABC ∽ △DEF
相似比（Similarity Ratio）： 对应边的比值，常记为 k 或 λ。
即：k = |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |CA|/|FD|
含义： 两个三角形的形状完全相同，但大小可能不同。相似的图形可以通过缩放（放大或缩小）相互转换。
英文定义： Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are proportional.
全等：形状和大小都相同（相似比 k = 1）
相似：形状相同，大小可能不同（相似比 k ≠ 1）
所以：全等 ⊂ 相似（全等是特殊的相似）
相似的三个判定定理
-
AA（Angle-Angle）：
两个对应角相等 → 两个三角形相似
（第三个角自动相等，因为三角形内角和 = 180°）若 ∠A = ∠D，∠B = ∠E → △ABC ∽ △DEF -
SSS（Side-Side-Side）：
三边对应成比例 → 两个三角形相似若 |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |CA|/|FD| → △ABC ∽ △DEF -
SAS（Side-Angle-Side）：
两边对应成比例且夹角相等 → 两个三角形相似若 |AB|/|DE| = |AC|/|DF|，∠A = ∠D → △ABC ∽ △DEF
相似三角形的性质
如果 △ABC ∽ △DEF，相似比为 k，则：
例题
已知：△ABC 和 △DEF 中，
∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 50°
|AB| = 6cm，|DE| = 10cm
求：(1) △ABC 与 △DEF 的相似比
(2) 若 △ABC 的周长为 18cm，求 △DEF 的周长
(1) ∵ ∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 50°
∴ △ABC ∽ △DEF （AA 判定）
相似比 k = |AB|/|DE| = 6/10 = 3/5
(2) 周长比 = 相似比 = 3/5
周长(△DEF) = 周长(△ABC) × (5/3) = 18 × (5/3) = 30cm
3.3 对边比的不变性 ⭐【核心重点】
在下面的交互工具中，你会发现一个惊人的事实：
固定一个角度 θ，无论三角形有多大，那个角对应的"对边 ÷ 斜边"这个比值，永远是相同的！
这个发现是三角函数诞生的根源。
关键概念：角与对边比的对应关系
在直角三角形中，选定一个锐角 θ。
虽然三角形有无穷多种大小，但所有包含角 θ 的直角三角形都是相似的。
因此：
对边 ÷ 斜边 = 一个只依赖于 θ 的常数
这个常数就是 sin(θ)
为什么这个比值不变？
因为所有具有相同锐角 θ 的直角三角形都相似！
相似三角形的对边比相等
↓
所以这个比只取决于角度，不取决于三角形大小
↓
这个比值就是三角函数的定义
直角三角形中的三角比
设直角三角形的一个锐角为 θ，则：
例题：对边比的不变性
有两个直角三角形，都有一个 35° 的锐角：
△ABC：直角在 C，∠A = 35°，|AB| = 10cm（斜边）
△DEF：直角在 F，∠D = 35°，|DE| = 20cm（斜边）
求：|BC| 和 |EF| 的关系
△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，都有 35° 的锐角
∴ △ABC ∽ △DEF
对应边成比例：
|BC|/|AB| = |EF|/|DE|
这个比值 = sin(35°) ≈ 0.574
所以：
|BC| = 10 × 0.574 = 5.74cm
|EF| = 20 × 0.574 = 11.48cm
关键发现：
虽然三角形大小不同（斜边比 = 1:2），
但 |BC|/|EF| = 5.74/11.48 = 1/2（与斜边比相同）
并且 |BC|/|AB| = |EF|/|DE| = sin(35°)（始终相等）
交互实验室：对边比探索器
在下面的工具中，你可以自由地探索"对边比的不变性"。
设定一个角度 → 绘制多个三角形 → 观察对边比的规律
1. 在左侧设定一个角度（例如 35°）
2. 在画布上点击绘制多个直角三角形（都包含这个角）
3. 观察每个三角形的"对边/斜边"比值
4. 改变三角形大小（拖动顶点）
5. 改变角度，看看对边比如何变化
6. 自己发现这个比值与大小无关，只与角度有关！
现实应用：相似原理在生活中
地图是现实世界的相似缩小版。
相似比 k = 1:1000 表示地图上 1cm 代表实际 10m。
所有距离都按 k 比例缩放，角度完全不变。
相机通过透镜形成的像与实物是相似的。
相似比 k 决定了放大倍数。
这就是为什么相机能准确捕捉现实的比例关系。
建筑师用缩小的模型来展示设计。
模型中的每个细节都与真实建筑保持相似比例。
这样可以提前评估设计的美感和功能性。
要测量一棵树的高度，不用爬到树顶。
只需根据相似三角形的原理：
人高 / 树高 = 人的影长 / 树的影长
就能计算出树的高度！
这正是第 9 章要学的应用。
本章总结
关键概念回顾
| 概念 | 定义 | 判定条件 |
|---|---|---|
| 全等 | 形状和大小完全相同 | SSS, SAS, ASA, AAS, HL |
| 相似 | 形状相同，大小可不同 | AA, SSS, SAS |
| 相似比 k | 对应边的比值 | 周长比 = k，面积比 = k² |
必记公式
sin(θ) = 对边 / 斜边
cos(θ) = 邻边 / 斜边
tan(θ) = 对边 / 邻边
关键：这三个比都只依赖于角度，与三角形大小无关。
易错提醒
- ❌ 混淆全等和相似：全等是特殊的相似（相似比 k=1）
- ❌ 面积比算错：面积比 = 相似比的平方，不是相似比本身
- ❌ sin/cos/tan 与三角形大小有关：实际上只与角度有关
- ❌ 对边比和邻边比搞混：一定要认清"对边"和"邻边"相对于哪个角
与后续章节的联系
→ 第 7 章：单位圆与三角函数定义
相似三角形的对边比是常数这个洞察，
直接导出了 sin(θ)、cos(θ)、tan(θ) 的定义。
理解了本章，第 7 章就不再是公式，而是自然的演绎。
准备好了吗？通过练习来巩固你的理解
📝 做第 3 章的练习题